Veronica

Representamos por aⁿ, a potência de base real a e expoente inteiron.

Definimos a potência an nos casos abaixo:

• 1º caso: Expoente inteiro maior que 1.

Potência de expoente inteiro maior que 1 é o produto de tantos fatores iguais à base quantas forem as unidades do expoente.

Assim:

  

Exemplos:

a) 4³ = 4 · 4 · 4 = 64

b) 1⁵ = 1 · 1 · 1 · 1 · 1 = 1

c) (–2)⁴= (–2) · (–2) · (–2) · (–2) = 16

D)

    

• 2º caso: Expoente 1

Toda potência de expoente 1 é igual à base.

Assim:

Exemplos

a) 5¹ = 5

b)

      

• 3º caso: Expoente zero

Toda potência de expoente zero é igual a 1.

Assim:

Exemplos

a) 5⁰ = 1

b)= 1

• 4º caso: Expoente inteiro negativo

Toda potência de expoente inteiro negativo e base não-nula é igual à potência de base igual ao inverso da base dada e expoente igual ao oposto do expoente dado.

Assim:

Exemplos:

a) 

 

b) 

   

c) 

    

Observação:

Sendo n um número inteiro, temos:

1a)  a = 0 e n > 0 -> aⁿ = 0
2a)  a = 0 e n < 0 ->  aⁿ  R
3a)  a > 0 -> aⁿ > 0
4a)  a < 0 e n par -> aⁿ > 0
5a)  a < 0 e n ímpar -> aⁿ < 0

2. Propriedades

Consideremos os números reais a e b, e os números naturais m e n. Então são válidas as seguintes propriedades.

• P1: Produto de potências de mesma base

Para multiplicarmos potências de mesma base, conservamos a base e somamos os expoentes.

Justificativa:

 =

Assim: a^m · aⁿ = a^m+n.

Exemplos:

a) 2³ · 2⁵ = 2³⁺⁵ = 28

b) 4^x · 4^-x+2 = 4^x+(-x+2) = 42

c) 3 · 3² · 3⁶ = 3¹⁺²⁺⁶ = 39

• P2: Quociente de potências de mesma base

Para dividirmos potências de mesma base, conservamos a base e subtraímos os expoentes.

Justificativa:

1o. Sendo m > n, temos

2o. Se m = n,  = 1= a^(m-n) = a⁰ = 1

3o. Se

                  

 = a (m - n)

Exemplos:

a) = 2^6-2 = 24

b) 

 = 5^x-2

c) 

 = 4^(x+2)-(x-3) = 45

• P3: Produto de potências de mesmo expoente

Para multiplicarmos potências de mesmo expoente, conservamos o expoente e multiplicamos as bases.

   

   

Justificativa

   

               

          

Assim: aⁿ · bⁿ = (ab)ⁿ.

Exemplos

a) 2⁴ · 8⁴ = (2 · 8)⁴ = 16⁴

b) x³ · y³ · z³ = (x · y · z)³

• P4: Quociente de potências de mesmo expoente

Para dividirmos potências de mesmo expoente, conservamos o expoente e dividimos as bases.

Justificativa:

Assim:

   

Exemplos:

a)   

    

b)    

• P5: Potência de uma potência

Para elevarmos uma potência a um novo expoente, conservamos a base e multiplicamos os expoentes.

  

Justificativa:

  

  

Exemplos:

a) (23)² = 2^2.2 = 26

b)= 3^2.3.2 = 3¹²

Observação

As propriedades apresentadas podem ser estendidas para os expoentes m e n inteiros.

Exemplos

a) 2³ · 2^-2 = 2^{3 + (-2)} = 2¹ (P1)

b) = 5^{2 - (-3)} = 5^{2 + 3} = 5⁵ (P2)

c) 5^-3 · 2^-3 = (5 · 2)^-3 = 10^-3 (P3)

d) (P4)

e)  (P5)

Situações Especieais

A. (– a)ⁿ  e  –aⁿ

As potências (–a)ⁿ e –aⁿ , em geral, apresentam resultados diferentes, pois:

 Exemplos

a) (–2)⁴ = (–2) · (–2) · (–2) · (–2) = 16

b) –2⁴ = – 2 · 2 · 2 · 2 = –16

c) (–2)³ = (–2) · (–2) · (–2) = –8

d) –2³ = – 2 · 2 · 2 = –8

B.

  

As potências , em geral, apresentam resultados diferentes, pois:

  

e

Exemplos

a)= (32) · (32) · (32) = 32 · 3 = 36

b)= 32 · 2 · 2 = 38

Matriz - Felipe Aguiar da Silva

Algumas video-aulas sobre matrizes e determinantes...

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KETELIN

SUMÁRIO

            INTRODUÇÃO.......................................................................................03

1.      Matemática Básica..................................................................................04

2.      Funções....................................................................................................05

3.      Trigonometria.........................................................................................06

3.1  Trigonometria de Triângulos. ..................................................................06

3.2  Trigonometria na Circunferência.............................................................07

4.      Geometria................................................................................................09

4.1  Geometria Plana.......................................................................................09

4.2  Geometria Espacial...................................................................................10

REFERÊNCIAS......................................................................................11

INTRODUÇÃO

Este trabalho tem como objetivo abordar o conteúdo programático da disciplina de matemática no vestibular. Sendo assim, expondo de forma geral o conteúdo, seu desenvolvimento e algumas peculiaridades. A divisão do conteúdo será feita de forma crescente, no que concerne ao desenvolvimento matemático.

Neste trabalho, serão utilizadas questões extraídas, em sua maioria, de livros, páginas da web e cadernos de vestibulares de Universidades com grande representatividade no Rio Grande do Sul, tais como UFRGS, FURG e PUCRS.

A título de abertura será apresentado como a matemática básica é abordada e será explicada sua prática em questões desenvolvidas. Ao se desenvolver o trabalho será mostrado de forma geral o conteúdo de funções e geometria. Será detalhado o conteúdo de Trigonometria, uma vez que estes são os conteúdos de maior abordagem em aulas.

1. MATEMÁTICA BÁSICA

A matemática básica é caracterizada pelo raciocínio que aprendemos no Ensino Fundamental – 5ª à 8ª série. Envolve questões das operações básicas de números reais (negativos, inteiros e decimais), bem como o conhecimento de potencias, radiciação, regra de três e porcentagem.

Ex:

(UFRGS) Alguns especialistas recomendam que, para um acesso confortável aos bebedouros por parte de crianças e usuários de cadeiras de rodas, a borda desses equipamentos esteja a uma altura de 76,2 cm do piso, como indicado na figura abaixo.

Um bebedouro que tenha sido instalado a uma altura de 91,4 cm do piso à borda excedeu a altura recomendada. Dentre os percentuais abaixo, o que mais se aproxima do excesso em relação à altura recomendada é:

a) 5%.                                                 Recomendado: 76,2 à 100%

b) 10%.                                              Instalado:        91,4 à X%

c) 15%.

d) 20%.                                                        X= 91,4x100= 120%      120% - 100% = 20%

e) 25%.                                                                     91,4

2. FUNÇÕES

Uma função, de uma forma geral é definida por 2 ou mais conjuntos, é estabelecida uma lei que a função deve seguir, isto é, uma regra geral.

Uma função é conhecida, através de seu grau, ou seja o maior expoente que ela apresenta.

As principais funções estudadas a nível médio são as de 1º e 2º grau.

f(x)= ax+b à 1º grau

f(x)= ax²+bx+c à 2º grau

Uma das peculiaridades de uma função é que para saber se esta é crescente ou decrescente basta observar o sinal que o coeficiente angular recebe. Se for negativo a função será decrescente, se for positivos será crescente.

Ex:

    

  (A)

3. TRIGONOMETRIA

                  

3.1 Trigonometria de Triângulos.

Na trigonometria de triângulos é possível calcular medidas de lados através do uso dos seno, cosseno tangente, etc...

Ex:

(PUCRS). A razão do cateto adjacente pelo cateto oposto de um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 6 cm e um dos ângulos mede 60º é:

(A)  3√3      

(B) 1

(C) 2√3

(D) √3

(E) 2

                        

2 a = 6                                    X= CA= 3√3 = √3             

a = 3                                              CO     3

CO = 3 CA = 3√3

3.2 Trigonometria na Circunferência

A trigonometria na circunferência abrange, agora, formas de cálculo mais aprofundadas, pode-se agora medir além do seno e cosseno – visto anteriormente no triangulo retângulo – a tangente, a cotangente, a secante e a cossecante de um ângulo. Pode-se calcular, também, os ângulos que fazem os ponteiros de um relógio ao moverem-se.

Ex:

(FURG). Um jovem acertou seu relógio analógico, exatamente às 6h, quando acordou, saiu para prestar a prova de matemática do vestibular da Universidade Federal do Rio Grande. O jovem estava tão concentrado que só olhou novamente o relógio quando já estava na sala resolvendo as questões. Percebeu então, que os ponteiro das horas tinha percorrido um ângulo de 72°. A hora que seu relógio marcava era:

(A) 8h e 23min

(B) 8h e 24min                                   60’ à 30°

(C) 8h e 25min                                   X    à 72°

(D) 8h e 26min                                   X = 60x72 = 144min  144min = 2h e 24min

(E) 8h e 27min                                             30

                                                           6h + 2h e 24min = 8h e 24min.

(FURG) O valor de sen 30° - cós 60° é:

(A) 1

(B) 0

(C) 0,5

(D) -1

(E) –0,5

sen 30° = 0,5

cós 60° = 0,5

sen 30° - cós 60° = 0,5 – 0,5 = 0                                                                                   

(PUCRS). Dado α = 83°, então:

(A) tan < cos <  sen

(B) sen < cos < tan

(C) cos < sen < tan

(D) sen < sem < cos

(E) cós < tan < sen

(FURG) Considere as afirmativas abaixo:

tan 92º = - tan 88º    

I.                   tan 178º = tan 88º

tan 268º = tan 88º

II.                tan 272º = - tan 88º

Quais estão corretas?

(A) Apenas I e III

(B) Apenas III e IV

(C) Apenas I, II e IV

(D) Apenas I, III e IV

(E) Apenas II, III e IV

4. GEOMETRIA

4.1    Geometria Plana

A Geometria plana tem como característica e principio o calculo, por exemplo, das medidas de figuras geométricas, como o quadrado, o triangulo, o retângulo, o circulo e muitos outros. A título de vestibular, as questões não costumam ser complexas. É cobrado do aluno um conhecimento periférico acerca das figuras.

Ex:

 (UFRGS) Observe o prisma de base hexagonal:

                           

Considere as possíveis planificações:

Quais dessas pode ser considerada planificação do sólido?

(A) I, II e III

(B) Apenas II

(C) Apenas III

(D) Apenas I e II

(E) Apenas II e III

4.2 Geometria Espacial

A Geometria espacial, por sua vez, consiste no estudo a fundo dos sólidos, desta vez é possível calcular, por exemplo, o volume de um sólido, ou seja, a sua capacidade de armazenamento, é possível calcular a área que ele ocupa no espaço – Área Total.

Ex:

(ENEM). O produto das 3 dimensões da figura abaixo resulta na medida do:

                                       

(A) Superfície                                      V = a x b x c = volume.

(B) Volume

(C) Capacidade

(D) Area

(E) Comprimento

REFERÊNCIAS

http://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/definicao-funcao.htm

http://www.matematiques.com.br/conteudos.php?t=Q&d=Resumos&idcategorias=27

Caderno vestibular UFRGS 2010 – 2011

Caderno Prova do ENEM 2011 – Matemática e suas Tecnologias.